lunes, 27 de abril de 2015


                  movimiento circular uniforme
Una característica importante del movimiento parabólico es que es una trayectoria curvilínea. Esto se debe a que existe una componente de la aceleración que es perpendicular a la trayectoria.
Sin embargo, existe un movimiento en el que la aceleración siempre es perpendicular a la trayectoria, formándola en una "curva uniforme", aún cuando la magnitud de la velocidad sea constante.
Cuando una partícula se mueve en una trayectoria circular con rapidez constante, tiene un movimiento circular uniforme M.C.U. *.
En éste movimiento, no existe una componente de la aceleración que seaparalela a la trayectoria, de lo contrario, la rapidez cambiaría. Un vehículo recorriendo un redondel con rapidez constante es un ejemplo de M.C.U.
Movimiento Circular Uniforme
La aceleración es perpendicular (normal) a la trayectoria. Como la trayectoria es un círculo, la aceleración está dirigida siempre hacia el centro de éste, por lo que comúnmente recibe el nombre de aceleración centrípeta.
La velocidad de la partícula en éste movimiento siempre es constante en su magnitud: la rapidez; pero su dirección y sentido, como vector, cambia, debido a que la velocidad siempre es tangente a la trayectoria.
La rapidez de la partícula, la aceleración centrípeta y el radio del círculo se relacionan mediante la ecuación:
aceleración centrípeta
donde a es la magnitud de la aceleración centrípeta, v es la rapidez de la partícula y R el radio del círculo.
aceleración centrípeta
También podemos expresar la magnitud de la aceleración centrípeta en términos del período T del movimiento, el tiempo de una revolución (una vuelta completa al círculo) *.
La distancia recorrida en una vuelta al círculo es igual al perímetro de éste. Si el perímetro es 2πR, entonces:
aceleración centrípeta

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                                                      equilibrio rotacional

En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:
\vec U\cdot \mbox{rot}\ \vec F = \vec U\cdot \nabla\times\vec F\equiv \lim_{\Delta S\to 0} \frac{1}{\Delta S}\oint _{C} \vec F\cdot d\vec r
Aquí, \Delta S es el área de la superficie apoyada en la curva C, que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a \Delta S y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.
Aunque el que el rotacional de un campo alrededor de un punto sea distinto de cero no implica que las líneas de campo giren alrededor de ese punto y lo encierren. Por ejemplo, el campo de velocidades de unfluido que circula por una tubería (conocido como perfil de Poiseuille) posee un rotacional no nulo en todas partes, salvo en el eje central, pese a que la corriente fluye en línea recta:
Poiseuille profile.png
La idea es que si colocamos una rueda de paletas infinitamente pequeña en el interior del campo vectorial, esta rueda girará, aunque el campo tenga siempre la misma dirección, debido a la diferente magnitud del campo a un lado y a otro de la rueda.

Fuente vectorial y escalar[editar]

Al campo vectorial, \scriptstyle \mathbf{J}, que se obtiene calculando el rotacional de un campo \scriptstyle \mathbf{F} en cada punto,
\mathbf{J} = \nabla\times\mathbf{F}
se conoce como las fuentes vectoriales de \mathbf{F} (siendo las fuentes escalares las que se obtienen mediante la divergencia).
Un campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se denomina irrotacional o se dice que carece de fuentes vectoriales. Y si está definido sobre un dominio simplemente conexo entonces dicho campo puede expresarse como el gradiente de una función escalar, o dicho de otra forma, el campo deriva de un potencial (es decir, es conservativo):
\nabla\times\mathbf{f} = 0\ \mbox{en}\ \Omega\ \mbox{simplemente conexo}\ \Rightarrow \mathbf{f} = \nabla\phi

Expresión en coordenadas cartesianas

Partiendo de la definición mediante un límite, puede demostrarse que la expresión, en coordenadas cartesianas, del rotacional es
\nabla\times \vec F =\left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat x + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat y + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat z
que se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
\nabla\times \vec F=\left| \begin{matrix} \hat x & \hat y & \hat z \\ & & \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ & & \\ F_x & F_y & F_z \end{matrix}\right|
Debe tenerse muy presente que dicho determinante en realidad no es tal pues los elementos de la segunda fila no tienen argumento y por tanto carecen de sentido. Además dicho determinante sólo puede desarrollarse por la primera fila. En definitiva, la notación en forma de determinante sirve para recordar fácilmente la expresión del rotacional.
En la notación de Einstein, con el símbolo de Levi-Civita se escribe como:
(\nabla \times \vec F)_k = \epsilon_{klm} \partial_l F_m

Expresión en otros sistemas de coordenadas

Si se emplean sistemas de coordenadas diferentes del cartesiano, la expresión debe generalizarse, para incluir el que los vectores de la base dependen de la posición. Para un sistema de coordenadas ortogonales, como las cartesianas, las cilíndricas o las esféricas, la expresión general precisa de los factores de escala:
\nabla\times \vec F=\frac{1}{h_1h_2h_3}\left| \begin{matrix} h_1\hat{q}_1 & h_2\hat{q}_2 & h_3\hat{q}_3 \\ & & \\ \frac{\partial}{\partial q_1} & \frac{\partial}{\partial q_2} & \frac{\partial}{\partial q_3} \\ & & \\ h_1F_1 & h_2F_2 & h_3F_3 \end{matrix}\right|
(donde, en cartesianas, h_x=h_y=h_z=1 y reobtenemos la expresión anterior. En coordenadas cilíndricas h_\rho=h_z=1,\ h_\varphi=\rho y en coordenadas esféricas h_r=1,\ h_\theta=r,\ h_\varphi=r {\rm sen}\theta).

Expresión mediante formas diferenciales

Usando la derivada exterior, el rotacional se escribe simplemente como:
dF\,
Obsérvese que tomando la derivada exterior de un campo (co)vectorial no da lugar a otro campo vectorial, sino a una 2-forma o un campo de bivector, escrito correctamente como P\,(dx \wedge dy) + Q\,(dy \wedge dz) + R\,(dx \wedge dz). Sin embargo, puesto que los bivectores generalmente se consideran menos intuitivos que los vectores ordinarios, el R³-dual se utiliza comúnmente en lugar de otro: esto es una operación quiral, produciendo un pseudovector que adquiere valores opuestos en conjuntos coordenados izquierdos y derechos.

Propiedades

  • Todo campo potencial (expresable como el gradiente de un potencial escalar) es irrotacional y viceversa, esto es,
\vec E = -\nabla \phi\qquad \Leftrightarrow \qquad \nabla\times \vec E =0
  • Todo campo central (radial y dependiente sólo de la distancia al centro) es irrotacional.
\vec E = f(r) \hat{r}\qquad\Rightarrow \qquad \nabla\times \vec E =0
En particular, el campo eléctrostático de una carga puntual (y por superposición, cualquier campo electrostático) es irrotacional.
\nabla\cdot\left(\nabla\times \vec F\right) \equiv 0

Ejemplos

Un campo vectorial sencillo

Sea el campo vectorial:
\mathbf{F}(x,y,z)=y\boldsymbol{\hat{x}}-x\boldsymbol{\hat{y}}.

que depende linealmente de x e y, que se muestra a continuación:
Uniform curl.svg
Mediante inspección visual, se observa que el campo está girando. Si indicara la dirección de un fluido y se pusiera verticalmente una rueda de palas, de las que se utilizaban en los barcos de vapor, tendería a rotar en el sentido de las agujas del reloj. Utilizando la Regla de la mano derecha el vector rotacional apuntará a la parte negativa del eje zeta (hacia dentro) y no contendrá componentes en el eje x o y.
Calculando el rotacional:
{\nabla} \times \mathbf{F} =0\boldsymbol{\hat{x}}+0\boldsymbol{\hat{y}}+ \left[{\frac{\partial}{\partial x}}(-x) -{\frac{\partial}{\partial y}} y\right]\boldsymbol{\hat{z}}=-2\boldsymbol{\hat{z}}
Que está en la parte negativa del eje z, como se esperaba. En este caso, el rotacional es constante, independientemente de su posición. La "cantidad" de rotación es el mismo en todo punto del espacio. La siguiente figura muestra el rotacional del campo vectorial en tres dimensiones.
Curl of uniform curl.png

Un ejemplo más complejo

Supongamos otro campo vectorial un poco más complejo:
\mathbf{F}(x,y,z)=-x^2\boldsymbol{\hat{y}}.
Su gráfica es:
Nonuniform curl.svg
No se observa con facilidad que este campo sea rotacional, pero investigando un poco se puede observa que, por ejemplo, el campo es mayor en x=4 que en x=3. Al igual que en el caso anterior, si pusiéramos de nuevo una rueda de palas en la zona derecha del gráfico, la «corriente» más fuerte a la derecha haría rotar a la rueda en el sentido de las agujas del reloj, lo cual corresponde a un rotacional en la dirección negativa del eje z. En la parte izquierda del gráfico se observa que la corriente más fuerte esta hacia la izquierda por lo que las palas girarían en el sentido contrario a las agujas del reloj y el rotacional, en este caso, apuntaría hacia la parte positiva el eje z. Computando el rotacional podemos comprobar las suposiciones realizadas.
{\nabla} \times \mathbf{F} =0\boldsymbol{\hat{x}}+0\boldsymbol{\hat{y}}+ {\frac{\partial}{\partial x}}(-x^2) \boldsymbol{\hat{z}}=-2x\boldsymbol{\hat{z}}.
Efectivamente, el rotacional apunta a la dirección positiva del eje z para x negativa y a la parte negativa del eje z para x positivo. Obsérvese que el rotacional ya no es uniforme en todos los puntos:
Curl of nonuniform curl.png
Obsérvese que el rotacional solamente depende de la coordenada x.

Otros ejemplos

  • En un tornado los vientos están rotando sobre el ojo, y un campo vectorial que muestra las velocidades del viento tendría un rotacional diferente de cero en el ojo, y posiblemente en otras partes (véasevorticidad).
  • En un campo vectorial que describa las velocidades lineales de cada parte individual de un disco que rota, el rotacional tendrá un valor constante en todas las partes del disco.
  • Si una autopista fuera descrita con un campo vectorial, y los carriles tuvieran diversos límites de velocidad, el rotacional en las fronteras entre los carriles sería diferente de cero.
  • La ley de Faraday de la inducción y la ley de Ampère-Maxwell, dos de las ecuaciones de Maxwell, se pueden expresar muy simplemente usando el rotacional. La primera indica que el rotacional de un campo eléctrico es igual a la tasa de variación de la densidad del flujo magnético, con signo opuesto debido a la Ley de Lenz; la segunda indica que el rotacional de un campo magnético es igual a la suma de la densidad de corrientes y la derivada temporal de la densidad de flujo eléctrico.
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Equilibrio Traslacional

Un cuerpo se encuentra en equilibrio traslacional cuando la sumatoria de todas las componentes en X es igual a 0 y todas las componentes en Y es igual a 0.
Cuando un cuerpo esta en equilibrio traslacional no tiene fuerza resultante actuando sobre el.




EJEMPLO DE PROBLEMA DE APLICACIÓN:
Una caja de 8 N está suspendida por un alambre de 2 m que forma un ángulo de 45° con la vertical. ¿Cuál es el valor de las fuerzas horizontal y en el alambre para que el cuerpo se mantenga estático?.
Primero se visualiza el problema de la siguiente manera:
A continuación se elabora su diagrama de cuerpo libre.
Ahora por medio de la descomposición de los vectores, calculamos lafuerza de cada uno de ellos.
F1x = - F1 cos 45°*
F1y = F1 sen 45°
F2x = F2 cos 0° = F2
F2y = F2sen0°=0
F3x = F3cos90°=0
F3y = - F3 sen 90° = - 8 N*
Porque los cuadrantes en los que se localizan son negativos.

Como únicamente conocemos los valores de F3, F2 y la sumatoria debe ser igual a cero en x e y, tenemos lo siguiente:
EFx=F1x+F2x+F3x=0
EFy=F1y+F2y+F3y=0
Por lo tanto tenemos lo siguiente:
EFx=-F1 cos 45+F2=0
          F2=F1(0.7071)
EFy=-F1sen45-8N=0
          8N=F1(0.7071)
          F1=8N/0.7071=11.31 N
Para calcular F2, se sustituye F1 de la ecuación siguiente:
F2=F1(0.7071)
F2=11.31(0.7071)=8N
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                                                              leyes de newton

Isaac Newton (1642 - 1727), nacido el año que murióGalileo, es el principal arquitecto de la mecanica clasica, la cual se resume en sus tres leyes del movimiento.
Antes de la época de Galileo, la mayoría de los pensadores o filósofos sostenía que se necesitaba alguna influencia externa o "fuerza" para mantener a un cuerpo en movimiento. Se creía que para que un cuerpo se moviera con velocidad constante en línea recta necesariamente tenía que impulsarlo algún agente externo; de otra manera, "naturalmente" se detendría. Fue el genio de Galileo el que imaginó el caso límite de ausencia de friccion e interpretó a la fricción como una fuerza, llegando a la conclusión de que un objeto continuará moviéndose con velocidad constante, si no actúa alguna fuerza para cambiar ese movimiento.
Las tres leyes de Newton del movimiento son las llamadasleyes clasicas del movimiento. Ellas iluminaron por 200 años el conocimiento científico y no fueron objetadas hasta que Albert Einstein desarrolló la teoría de la relatividaden 1905.

Primera Ley de Newton, de la Inercia

Establece que si la fuerza neta sobre un objeto es cero, si el objeto está en reposo, permanecerá en reposo y si está en movimiento permanecerá en movimiento en línea recta convelocidad constante. Un ejemplo de esto puede encontrarse en el movimiento de los meteoritos y asteroides, que vagan por el espacio en línea recta a velocidad constante, siempre que no se encuentren cercanos a un cuerpo celeste que los desvíe de su trayectoria rectilínea.
La tendencia de un cuerpo a resistir un cambio en su movimiento se llama inercia. La masa es una medida de lainercia de un cuerpo. El peso se refiere a la fuerza de gravedad sobre un cuerpo, que no debe confundirse con sumasa.

Segunda Ley de Newton, de la Masa

Indica que la aceleracion de un cuerpo es directamenteproporcional a la fuerza neta que actúa sobre él, einversamente proporcional a su masa.
F = ma
Este tema está tratado y se accede presionando: Segunda Ley de Newton.

Tercera Ley de Newton, Principo de Accion y Reaccion

Establece que siempre que un cuerpo ejerce una fuerza sobre un segundo cuerpo, el segundo cuerpo ejerce una fuerza sobre el primero cuya magnitud es igual, pero en dirección contraria a la primera.

Leyes de Newton: Fuerza de Friccion y Diagrama de Cuerpo Libre o Diagrama de Cuerpo Aislado

Cuando dos cuerpos se deslizan entre sí, la fuerza de fricción que ejerce uno sobre el otro se puede definir en forma aproximada como , donde N es la fuerza normal, o sea la fuerza que cada cuerpo ejerce sobre otro, en dirección perpendicular a la superficie de contacto;
se usa para denotar el coeficiente de friccion cinéticasi hay movimiento relativo entre los cuerpos; si están en reposo,  es el coeficiente de friccion estática y
 es la máxima fuerza de friccion justo antes de que se inicie el movimiento.
Para resolver problemas en que intervengan fuerzas sobre uno o más cuerpos, es esencial trazar un diagrama de cuerpo libre o diagrama de cuerpo aislado para cada uno de los cuerpos donde se muestren todas las fuerzas que actúan sólo en el cuerpo respectivo
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MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO 


Dibujo del movimiento circular uniformemente acelerado
El movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA) se presenta cuando una partícula o cuerpo sólido describe una trayectoria circular aumentando o disminuyendo la velocidad de forma constante en cada unidad de tiempo. Es decir, la partícula se mueve con aceleración constante.
En el dibujo se observa un ejemplo en donde la velocidad aumenta linealmenteen el tiempo. Suponiendo que el tiempo en llegar del punto P1 a P2 sea una unidad de tiempo, la partícula viaja con una aceleración tangencial uniforme v, incrementándose esa cantidad en cada unidad de tiempo.

Posición

Dibujo de la posición de una partícula en un movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)
El desplazamiento de la partícula es más rápido o más lento según avanza el tiempo. El ángulo recorrido (θ) en un intervalo de tiempo t se calcula por la siguiente fórmula:

Fórmula del ángulo recorrido por una partícula dependiendo del tiempo en un movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)
Aplicando la fórmula del incremento de ángulo calculamos la posiciónen la que estará la partícula pasado un tiempo t se obtiene la fórmula de la posición:

Fórmula de la posición de una partícula en un movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)

Velocidad angular

La velocidad angular aumenta o disminuye linealmente cuando pasa una unidad del tiempo. Por lo tanto, podemos calcular la velocidad angular en el instante t como:

Fórmula de la velocidad angular de una partícula en un movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)
El sentido de la aceleración angular α puede ser contrario al de la velocidad angular ω. Si la aceleración angular es negativa, seria un caso de movimiento circular uniformemente retardado.

Velocidad tangencial

La velocidad tangencial es el producto de la velocidad angular por el radio r. La velocidad tangencial también se incrementa linealmente mediante la siguiente fórmula:

Fórmula de la velocidad tangencial de una partícula en un movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)
Dándose aquí igualmente la posibilidad de aceleración negativa que se ha descrito en el apartado anterior.

Aceleración angular

La aceleración angular en el movimiento circular uniformemente acelerado es constante. Se calcula como el incremento de velocidad angular ω desde el instante inicial hasta el final partido por el tiempo.

Fórmula de la aceleracion angular de una partícula en un movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)

Aceleración tangencial

La aceleración tangencial en el movimiento circular uniformemente acelerado MCUA se calcula como el incremento de velocidad v desde el instante inicial hasta el final partido por el tiempo.

Fórmula de la aceleracion tangencial de una partícula en un movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)

Aceleración centrípeta

La aceleración centrípeta en el MCUA se halla mediante:

Fórmula de la aceleración centrípeta en el movimiento circular uniformemente acelerado(MCUA)

Componentes intrínsecas de la aceleración

Dibujo de las componentes intrínsecas de la aceleración en el movimiento circular.
La velocidad tangencial por la trayectoria en un punto P es v. En un intervalo de tiempo pequeño Δt, la velocidad incrementa a v’ en el punto P’, después de haber descrito un ángulo Δφ.
En la figura se puede ver el incremento de la velocidad tangencial Δv descompuesta en dos componentes: la tangencial Δvt y la normal (o centrípeta) Δvn.
Si dividimos ambas componentes de la velocidad por Δt, tendremos las componentes intrínsecas de la aceleración: la aceleración tangencial at y la aceleración normal an (ocentrípeta).

Período

En el MCUA la velocidad angular cambia respecto al tiempo. Por tanto, el período cada vez será menor o mayor según si decrece o crece la velocidad angular.

Fórmula del período en el movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)

Frecuencia

La frecuencia en el caso del MCUA es mayor o menor porque la velocidad angular cambia. La fórmula de lafrecuencia será:

Fórmula de la frecuencia en el movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)
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